Question

函數(shù)f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

給出下列四個(gè)命題，其中正確的是（　　）

• A．f（x）的值域?yàn)閇-1.1]
• B．f（x）是以π為周期的周期函數(shù)
• C．當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+

  π

  2

  （k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值
• D．當(dāng)且僅當(dāng)2kx+π＜x＜2kx+

  3π

  2

  （（k∈Z））時(shí)，f（x）＜0

Answer 1

分析：由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)判斷四個(gè)命題的真假．此函數(shù)取自變量相同時(shí)函數(shù)值大的那一個(gè)，由此可順利作出函數(shù)圖象．

解答：解：由題意函數(shù)f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，畫出f（x）的圖象，
圖中實(shí)線部分．觀察圖象可知：

∵f（x+2π）=f（x），但是f（x+π）≠f（x），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，故A錯(cuò)誤；
由圖象知，在x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)圖象位于最低點(diǎn)，
該函數(shù)取得最小值sin（

5π

4

+2kπ）=-

2

2

，
∴B錯(cuò)誤；
由圖象知，當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx或x=2kx+

π

2

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)圖象位于最高點(diǎn)1，
∴f（x）取得最大值1，
∴C錯(cuò)；
∵在2kx+π＜x＜2kx+

3π

2

（（k∈Z））時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方，
∴f（x）＜0，
∴D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，本題是函數(shù)圖象的運(yùn)用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，并以由圖象研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關(guān)的命題的真假．