【題目】已知正實(shí)數(shù)列a1,a2,滿足對于每個(gè)正整數(shù)k,均有,證明:

(Ⅰ)a1+a2≥2;

(Ⅱ)對于每個(gè)正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+ann

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)利用已知條件可得,然后結(jié)合基本不等式可證;

(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

證明:(Ⅰ)當(dāng)k1時(shí),有,即,,

,數(shù)列為正實(shí)數(shù)列,

由基本不等式1,∴

a1+a2≥2

(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法:

由(Ⅰ)得n2時(shí),a1+a2≥2,不等式成立;

假設(shè)當(dāng)nkk≥2)時(shí),a1+a2+…+akk成立;

則當(dāng)nk+1時(shí),a1+a2+…+ak+ak+1k,

要證kk+1,即證1

即為kakak2+k1,即為(ak1)(k1≥0,

k≥2,∴k1≥1,當(dāng)ak1≥0時(shí),a1+a2+…+ak+ak+1k+1

∴對于每個(gè)正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+ann

當(dāng)0ak1時(shí),

∵對于每個(gè)正整數(shù)k,均有

,則,

a1+a2+…+an+an+1an+1n1+2n+1

綜上,對于每個(gè)正整數(shù)n≥2,均有a1+a2+…+ann

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若,求函數(shù)上的最大值.

(2)若,關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(3)若對任意的、,,不等式都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】矩形ABCD中,,沿對角線AC將三角形ADC折起,得到四面體,四面體 外接球表面積為,當(dāng)四面體的體積取最大值時(shí),四面體的表面積為(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《中國詩詞大會》是央視推出的一檔以“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節(jié)目,邀請全國各個(gè)年齡段、各個(gè)領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識比拼。“百人團(tuán)”由一百多位來自全國各地的選手組成,成員上至古稀老人,下至垂髫小兒,人數(shù)按照年齡分組統(tǒng)計(jì)如下表:

分組(年齡)

頻數(shù)(人)

(1)用分層抽樣的方法從“百人團(tuán)”中抽取人參加挑戰(zhàn),求從這三個(gè)不同年齡組中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù);

(2)在(1)中抽出的人中,任選人參加一對一的對抗比賽,求這人來自同一年齡組的概率。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓的左、右頂點(diǎn),為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),線段與圓相切于點(diǎn),且點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

(1)求線段的長;

(2)求橢圓的離心率;

(3)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)(其中點(diǎn)在第一象限),過點(diǎn)的平行線交橢圓于點(diǎn),于點(diǎn),求.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在棱長均相等的四棱錐, 為底面正方形的中心, ,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有:( )

A.∥平面B.平面∥平面

C.直線與直線所成角的大小為D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為為參數(shù),.為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

2)已知曲線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,,,EAB的中點(diǎn).沿CE折起,使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置,且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為.

1)求證:平面平面AEF;

2)求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,.

(1)求的值;

(2)證明: 存在唯一的極小值點(diǎn),.

(參考數(shù)據(jù): )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案