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16.已知函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最小正周期為$\frac{2π}{3}$,最小值為-2,圖象過($\frac{5π}{9}$,0),求該函數的解析式并求其單調區(qū)間.

分析 根據已知,求出函數的各個參數值,進而可得函數的解析式,結合正弦函數的圖象和性質,可得函數的單調區(qū)間.

解答 解:∵函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最小正周期為$\frac{2π}{3}$,最小值為-2,
∴ω=3,A=2,
∴函數y=2sin(3x+φ)(|φ|<$\frac{π}{2}$)的圖象過($\frac{5π}{9}$,0),
∴sin($\frac{5π}{3}$+φ)=0,φ=$\frac{π}{3}$+kπ,k∈Z,
∴φ=$\frac{π}{3}$,
故y=2sin(3x+$\frac{π}{3}$),
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,k∈Z得:
x∈[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$,$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$],k∈Z
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z得:
x∈[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$,$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$],k∈Z
故函數的單調遞增區(qū)間為:[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$,$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$],k∈Z
單調遞減區(qū)間為:[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$,$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$],k∈Z

點評 本題考查的知識點是三角函數的圖象和性質,根據已知,求出函數的解析式,是解答的關鍵.

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