Question

已知函數f（x）=-x²+2|x-a|，當a＞0時，若對?x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得，x∈[0，+∞）時，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．再分（1）當0≤x≤a時、當（2）當x≥a+1、（3）當a＜x＜a+1時三種情況，分別求得a的范圍，再取交集，即為所求．

解答： 解：由題意可得，x∈[0，+∞）時，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立 ①．
（1）當0≤x≤a時，①即 x²+4x-2a+1≥0恒成立，由于當x=0時，不等式左邊取得最小為-2a+1，
再由-2a+1≥0求得 a≤

1

2

，∴0＜a≤

1

2

．
（2）當x≥a+1，①即x²+2a-3≥0 恒成立，由于當x=a+1時，不等式的左邊取得最小值為a²+4a-2，
再由 a²+4a-2≥0求得a≥

6

-2．
（3）當a＜x＜a+1時，①即 x²-4x+6a+1≥0恒成立，該不等式對應的二次函數的圖象開口向上，
對稱軸為x=2，
若a＞2，則當x=a時，不等式的左邊取得最小值為a²+2a+1，由為a²+2a+1≥0，求得a∈R，
故此時有 a＞2．
若a≤2≤a+1，則當x=2時，不等式的左邊取得最小值為6a-3，由為6a-3≥0，求得a≥

1

2

，
故此時有1≤a≤2．
若a+1＜2，則當x=a+1時，不等式左邊取得最小值為a²+4a-2≥0，求得a≥

6

-2，
故此時有

6

-2＜a＜1．
故在此分類條件下，a≥-2+

6

．
綜合（1）、（2）、（3），可得

6

-2≤a≤

1

2

，即a的范圍為[

6

-2，

1

2

]．

點評：本題主要考查二次函數的性質的應用，體現了分類討論、轉化的數學思想，屬于基礎題．