Question

如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長線上的一點，且OA=2，B為半圓上任一點，以AB為邊作等邊△ABC，問B在什么地方時，四邊形OACB的面積最大？并求出這個面積的最大值．

Answer 1

分析：本題考查的知識是余弦定理，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，由于∠AOB的大小不確定，故我們可以設(shè)∠AOB=θ，并根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進行求解．

解答：解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積
設(shè)∠AOB=θ，
則△ABC的面積=

1

2

•AB•AC•sin60°=

3

4

•AB2
=

3

4

(OB2+OA2-2•OB•OA•cosθ)
=

3

4

(5-4cosθ)
△OAB的面積=

1

2

•OA•OB•sinθ
=

1

2

•2•1•sinθ=sinθ
四邊形OACB的面積=

5 3

4

+sinθ-

3

cosθ=

5 3

4

+2sin(θ-60°)
∴當(dāng)θ-60°=90°，
即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大，
其最大面積為

5 3

4

+2．

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．