Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*都有S_n=

2

3

a_n-

1

3

，則S_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式求出首項，取n=n-1后作差得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答： 解：由S_n=

2

3

a_n-

1

3

，
當(dāng)n=1時，a1=S1=

2

3

a1-

1

3

，得a₁=-1；
當(dāng)n≥2時，由S_n=

2

3

a_n-

1

3

  ①
得Sn-1=

2

3

an-1-

1

3

  ②
①-②得：an=

2

3

an-

2

3

an-1，
即a_n=-2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為-1，公比為-2的等比數(shù)列，
則Sn=

-1×[1-(-2)n]

1-(-2)

=

1

3

•(-2)n-

1

3

．
故答案為：

1

3

•(-2)n-

1

3

．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．