(05年廣東卷)(14分)

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿(mǎn)足(如圖4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn))

的軌跡方程;

(Ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出

最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析: 解法一:

(Ⅰ)∵直線(xiàn)的斜率顯然存在,∴設(shè)直線(xiàn)的方程為,

,依題意得

   ,①

,②    ③

 ∵,∴,即 ,④

由③④得,,∴

∴設(shè)直線(xiàn)的方程為

∴①可化為    ,∴     ⑤,

設(shè)的重心G為,則

    ⑥ ,      ⑦,

由⑥⑦得   ,即,這就是得重心的軌跡方程.

(Ⅱ)由弦長(zhǎng)公式得

把②⑤代入上式,得   ,

設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則

,

∴ 當(dāng)有最小值,

的面積存在最小值,最小值是 .

 

解法二:

(Ⅰ)∵  AO⊥BO, 直線(xiàn),的斜率顯然存在,

   ∴設(shè)AO、BO的直線(xiàn)方程分別為,

設(shè),,依題意可得

   由得 ,由得 ,

設(shè)的重心G為,則

    、 ,   ②,

由①②可得,,即為所求的軌跡方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,

              ,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),有最小值,

的面積存在最小值,最小值是 .

 

 

解法三:(I)設(shè)△AOB的重心為G(x , y) ,A(x1, y1),B(x2 , y2 ),則

          …(1)

不過(guò)∵OA⊥OB ,

,即,  …(2)

又點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)上,有,

代入(2)化簡(jiǎn)得

,

∴所以重心為G的軌跡方程為,

(II),

由(I)得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,

 

所以△AOB的面積存在最小值,存在時(shí)求最小值1 .

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,,

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