Question

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首項(xiàng)a₁和公比q的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]，問是否存在正數(shù)k，使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列？若存在，求k的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由a₃a₄a₅=2⁹求得到a₄的值，然后利用a₄比上a₂求出q的值，再由a₄的值和q的值即可求出首項(xiàng)a₁的值；
（2）把等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，由b_n+1-b_n為常數(shù)求得k的值．

解答： 解：（1）∵a₃a₄a₅=(a4)3=2⁹，得a₄=2³=8（a₄＞0），
∴

a4

a2

=q2=4，q=2．
又由a₄=a₁q³，即8=a₁•2³，解得a₁=1；
（2）證明：由（1）知，a_n=2^n-1．
b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]
=

1

n

[lg(ka1a2…an)]=

1

n

[lg(k•20+1+2+…+(n-1))]=

1

n

[lgk+lg2

n(n-1)

2

]=

lgk

n

+

n-1

2

lg2，
若數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則bn+1-bn=

lgk

n+1

+

n

2

lg2-

lgk

n

-

n-1

2

lg2
=lgk(

1

n+1

-

1

n

)+

1

2

lg2=-

1

n(n+1)

lgk+

1

2

lg2為常數(shù)．
則lgk=0，k=1．
∴存在正數(shù)k=1，使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．