Question

已知函數(shù)f（x）=

x-k+2

x2+1

，若存在實(shí)數(shù)m∈[-1，1]，使得f（m）=1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原命題等價(jià)于k=-m²+m+1在m∈[-1，1]的值域，由二次函數(shù)的區(qū)間最值可得．

解答： 解：由題意可得存在實(shí)數(shù)m∈[-1，1]，使得f（m）=

m-k+2

m2+1

=1，
變形可得k=-m²+m+1=-（m-

1

2

）²+

5

4

，
可看作關(guān)于m的二次函數(shù)，開口向下，
故當(dāng)m∈[-1，

1

2

]時(shí)，關(guān)于m的函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)m∈[

1

2

，1]時(shí)，關(guān)于m的函數(shù)單調(diào)遞減，
由對稱性可知當(dāng)m=

1

2

時(shí)，k取最大值

5

4

，
當(dāng)m=-1時(shí)，k取最小值-1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-1，

5

4

]
故答案為：[-1，

5

4

]

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的區(qū)間最值，屬基礎(chǔ)題．