在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，如圖E、F分別是BB
1，CD的中點．
（Ⅰ）求證：平面AD
1F⊥平面ADE；
（Ⅱ）求直線EF與AD
1F所成角的正弦值．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：（1）設(shè)棱長為2，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用微量 法能證明平面AD
1F⊥平面ADE．
（Ⅱ）由
=（-2，-1，-1），平面AD
1F的法向量
=（1，2，1），利用向量法能求出直線EF與AD
1F所成角的正弦值．
解答：
（1）證明：設(shè)棱長為2，以D為原點，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），D
1（0，0，2），
=(2，0，0)，
=(2，2，1)，
=(-2，0，2)，
=（-2，1，0），
設(shè)平面ADE的法向量
=(x，y，z)，
則
，
取y=1，得
=(0，1，-2)，
設(shè)平面AD
1F的法向量
=(a，b，c)，
，取a=1，得
=（1，2，1），
∵
•=0+2-2=0，
∴平面AD
1F⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：設(shè)直線EF與平面AD
1F所成角的為θ，
∵
=（-2，-1，-1），平面AD
1F的法向量
=（1，2，1），
∴sinθ=|cos＜
，＞|=|
|=
．
直線EF與AD
1F所成角的正弦值
．
點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知點O（0，0），A（-1，1），若F為雙曲線x
2-y
2=1的右焦點，P是該雙曲線上且在第一象限的動點，則
•
的取值范圍為（ �。�
| A、（-1，1） |
| B、（-1，） |
| C、（1，） |
| D、（，+∞） |
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
橢圓的中心在原點，準(zhǔn)線方程為x=±
，長軸長為6的橢圓方程為（ �。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
數(shù)列{a
n}滿足a
1=1，a
n+1=1，記S
n=a
12+a
22+a
32+…+a
n2，若S
2n-1-S
n≤
對任意n∈N
*恒成立，則正整數(shù)m的最小值是
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}的前n項之和S
n=n
2+n．
（1）求數(shù)列的通項公式a
n；
（2）設(shè)b
n=
，T
n=b
1+b
2+…+b
n，求T
2013．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
數(shù)列{an}滿足：a1=2，a2=3，Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*），Sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=2n•an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a
n}滿足：a
2+a
3+a
4=28，且a
3+2是a
2，a
4的等差中項．
（1）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（2）若b
n=a
n•
loga
n，S
n=b
1+b
2+…+b
n，求使S
n+n•2
n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
若雙曲線C的離心率為2，其中一個焦點F（2，0）
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l斜率為2且過點F，求直線l被雙曲線C截得的弦長．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+
，（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x
2-x+2
b．
（Ⅰ）若f（x）在定義域上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對?x
1∈[1，e]，總?x
2∈[1，e]，使得f（x
1）＜g（x
2），則等價為f
max（x）＜g
max（x），利用導(dǎo)數(shù)與最值之間的關(guān)系，即可求實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）對?n∈N，且n≥2，證明：ln（n!）
4＜（n-1）（n+2）．
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