Question

設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩張情況討論：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線l的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|與|AB|的長(zhǎng)，從而可證結(jié)論．
解答：（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合
∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，即
∵，∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3分）
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1，），N（1，-），∴，不合題意．
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直線l的方程為或（8分）
（3）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=．
由消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴為定值  （13分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的而運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．