Question

10．如圖，A，B，D三點共線，以AB為直徑的圓與以BD為半徑的圓交于E，F，DH切圓B于點D，DH交AF于H．
（1）求證：AB•AD=AF•AH．
（2）若AB-BD=2，AF=2$\sqrt{2}$，求△BDF外接圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由題意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四點共圓，可得AB•AD=AF•AH．
（2）由已知結合切割弦定理求得AD，進一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，則由勾股定理可得△BDF外接圓的半徑．

解答 （1）證明：設圓B交線段AB于點C，
∵AB為圓O一條直徑，
∴BF⊥FH．
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四點在以BH為直徑的圓上，

∴B、D、F、H四點共圓．
∴AB•AD=AF•AH．
（2）解：∵AH與圓B相切于點F，由切割線定理得
AC=AB-BD=2，
AF²=AC•AD，即$（2\sqrt{2}）^{2}=2•AD$，
AD=4，
∴$BD=\frac{1}{2}（AD-AC）=1$，BF=BD=1．
又△AFB∽△ADH，
則$\frac{DH}{BF}=\frac{AD}{AF}$，得$DH=\sqrt{2}$，
連接BH，由（1）可知BH為DBFH的外接圓直徑，
$BH=\sqrt{B{D}^{2}+D{H}^{2}}=\sqrt{3}$，故△BDF的外接圓半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查了切割弦定理的應用，訓練了四點共圓條件的應用，是中檔題．