Question

將（x+y+z）⁵展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后共有

21

項(xiàng)，其中x³yz項(xiàng)的系數(shù)是

20

．

Answer 1

分析：將（x+y+z）⁵展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后，每一項(xiàng)都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是實(shí)數(shù)，a、b、c∈N．利用組合模型求解該問(wèn)題，恰當(dāng)構(gòu)造分組模型，
利用組合法解決該問(wèn)題．
把（x+y+z）⁵ 的展開(kāi)式看成5個(gè)因式（x+y+z）的乘積形式．從中任意選3個(gè)因式，這3個(gè)因式都取x，另外的2個(gè)因式分別取y、z，相乘即得含x³yz項(xiàng)，由此求得含x³yz項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：將（x+y+z）⁵展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后，每一項(xiàng)都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是實(shí)數(shù)，a、b、c∈N，
構(gòu)造8個(gè)完全一樣的小球模型，分成3組，每組至少一個(gè)，共有分法

C

2 7

種，
每一組中都去掉一個(gè)小球的數(shù)目分別作為（x+y+z）⁵的展開(kāi)式中每一項(xiàng)中x，y，z各字母的次數(shù)，
小球分組模型與各項(xiàng)的次數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．
故 將（x+y+z）⁵展開(kāi)合并同類(lèi)項(xiàng)后共有

C

2 7

=21項(xiàng)．
把（x+y+z）⁵ 的展開(kāi)式看成5個(gè)因式（x+y+z）的乘積形式．
從中任意選3個(gè)因式，這3個(gè)因式都取x，另外的2個(gè)因式分別取y、z，相乘即得含x³yz項(xiàng)，故含x³yz項(xiàng)的系數(shù)為

C

3 5

=20，
故答案為 21；20．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)特征，考查構(gòu)造法解決該問(wèn)題，關(guān)鍵要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕M合模型，屬于中檔題．