已知在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對(duì)的邊，且（b-2c）cosA=a-2acos2
B
2
．
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，則求b+c的取值范圍．
分析：（1）在銳角△ABC中，根據(jù)條件利用正弦定理可得 （sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），化簡(jiǎn)可得cosA
=
1
2
，由此可得A的值．
（2）由正弦定理可得
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=2，可得 b=2（sinB+sinC）=2
3
sin（B+
π
6
）．
再由
0＜B＜
π
2
0＜
2π
3
-B＜
π
2
，求得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得b+c的取值范圍．
解答：解：（1）在銳角△ABC中，根據(jù)（b-2c）cosA=a-2acos2
B
2
，利用正弦定理可得
（sinB-2sinC）cosA=sinA（-cosB），
化簡(jiǎn)可得cosA=
1
2
，∴A=
π
3
．
（2）若a=
3
，則由正弦定理可得
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=2，
∴b=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（
2π
3
-B）]=3sinB+
3
cosB=2
3
sin（B+
π
6
）．
由于
0＜B＜
π
2
0＜
2π
3
-B＜
π
2
，求得
π
6
＜B＜
π
2
，∴
π
3
＜B+
π
6
＜
2π
3
．
∴sin（B+
π
6
）∈（
3
2
，1]，∴b+c∈（3，2
3
]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在銳角△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
，
（1）求∠B；（2）求函數(shù)f(x)=sinx+2sinBcosx，(x∈[0，
π
2
])的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）設(shè)函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，
3
c=2asin(A+B)，對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），求f(B+
π
8
)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）當(dāng)
m
∥
n
時(shí)，求
sinx+cosx
3sinx-2cosx
的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
m
+
n
）•
m
，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，
3
c=2asin（A+B），對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x），求f（B+
π
8
）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
，
（I）求∠B；
（II）求函數(shù)f（x）=sinx+2sinBcosx，（x∈[0，
π
2
]）的最小值及單調(diào)遞減區(qū)間．

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