Question

某人在自己的經濟林場種植了楊樹、沙柳等植物．一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設ξ為成活沙柳的株數，數學期望Eξ=3，標準差σξ為．
（1）求n，p的值
（2）若一株沙柳成活，則一年內通過該株沙柳獲利100元，若一株沙柳不能成活，一年內通過該株沙柳損失30元，求一年內該人通過種植沙柳獲利的期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，這是一個n次獨立重復試驗的模型，其隨機變量的分布服從二項分布．根據教材中的結論：二項分布的數學期望為Eξ=np，方差等于Dξ=np（1-p），再結合題中所給的數據解方程組，可得n，p的值；
（2）結合公式η=100ξ-30（n-ξ）=130ξ-30n，再根據（1）的計算結果，最終可得獲利的期望為Eη=130Eξ-180
=210．
解答：解：（1）由二項分布的結論：Eξ=np，（σξ）²=np（1-p）
可得，
得，從而
答：n，p的值分別為6和．
（2）設η為該人通過種植沙柳所獲得的利潤，
則η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180
所以：Eη=130Eξ-180=210
答：一年內該人通過種植沙柳獲利的期望約為210．
點評：本題以二項分布與n次獨立重復試驗的模型為載體，著重考查了離散型隨機變量的期望與方差的有關公式等知識點，屬于中檔題．本題運用的公式較多，請同學們注意加強記憶．