Question

若對(duì)?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  8

  ，+∞）
• B、[

  25-8ln2

  16

  ，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，

  5

  4

  ]
• D、[-∞，

  5

  4

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由x₁＞0，4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化為8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值．令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，則對(duì)?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立?g（x）_max≥f（x）_max．再利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）的最大值，即可得出．

解答： 解：∵x₁＞0，∴4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0化為8ax2+4

x

2 2

≥x1-4lnx1+16-

3

x1

，
令f（x）=x-4lnx+16-

3

x

，x∈（0，2]，
f′（x）=1-

4

x

+

3

x2

=

(x-1)(x-3)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=14．
令g（x）=8ax+4x²，x∈[1，2]，
∵對(duì)?x₁∈（0，2]，?x₂∈[1，2]，使4x₁lnx₁-x₁²+3+4x₁x₂²+8ax₁x₂-16x₁≥0成立，
∴g（x）_max≥f（x）_max．
g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①當(dāng)a≥-1時(shí)，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得a≥-

1

8

，滿足條件．
②當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，g′（x）=8[x-（-a）]，可得當(dāng)x=-a時(shí)，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③當(dāng)a≤-2時(shí)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，也不符合條件，舍去．
綜上可得：a的取值范圍是[-

1

8

，+∞)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．