如圖，平面α內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面α，在半圓上任取一點(diǎn)M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影．

(1)求證：NH⊥SB；

(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系?

(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形?

答案：略
提示：

(1)證明：連AM、BM．∵AB為已知半圓直徑，∴AM⊥BM．∵SA⊥平面α，MBα，∴SA⊥MB．∵AM∩SA＝A，∴MB上面SAM．∵AN面SAW，∴BM⊥AN．∵AN⊥SM，∴AN⊥面SMB．∵AH⊥SB于H，則NH為AH在面SMB內(nèi)的射影，∴NH⊥SB

(2)解：由(1)知，SA⊥面AMB，BM⊥面SAM，AN⊥面SMB．∵SB⊥AH且SB⊥HN，∴SB⊥平面ANH．∴圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系．

(3)解：∵SA⊥平面AMB，

∴△SAB、△SAM均為直角三角形．

∵BM⊥平面SAM，

∴△BMA、△BMS均為直角三角形．

∴AN⊥平面SMB，

∴△ANM、△ANH、△ANS均為直角三角形．

∵SB⊥平面AHN，

∴△SHA、△BHA、△SHN均為直角三角形．

綜上所述，圖中共有10個(gè)直角三角形．

本題是考查直線與直線的垂直、直線與平面垂直的判定，解題時(shí)以空間的眼光觀察圖形，正確地發(fā)現(xiàn)線面的位置關(guān)系．本題的創(chuàng)新之處在于把垂直關(guān)系的空間化，打破學(xué)生頭腦中國有的平面垂直位置關(guān)系模式，鍛煉了空間想象能力，深化了對(duì)三垂線定理及逆定理的理解．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（2）設(shè)AB=AA1，在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P．當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當(dāng)P取最大值時(shí)，求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑，AA1=AC=CB=2．
（Ⅰ）證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BF=x，問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐C-EC1F的體積最大，最大值為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．
（I）證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）設(shè)AB=AA1，在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P．
（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P的最大值；
（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為θ（0°≤θ≤90°），當(dāng)P取最大值時(shí)，求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

如圖，平面a內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面a，在半圓上任取一點(diǎn)M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影．這個(gè)圖形中有多少對(duì)垂直的直線?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

如圖，平面a內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB，過A作SA⊥平面a，在半圓上任取一點(diǎn)M，連SM、SB，且N、H分別是A在SM、SB上的射影．這個(gè)圖形中有多少對(duì)垂直的直線?

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