現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù):a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo),今對(duì)其進(jìn)行如下加工:記T=a0+a1+…+a5,xn=,yn=(a0+a1+…+an),作函數(shù)y=f(x),使其圖象為逐點(diǎn)依次連結(jié)點(diǎn)Pn(xn,yn)(n=0,1,2, …,5)的折線.

(1)求f(0)和f(1)的值;

(2)設(shè)Pn-1Pn的斜率為kn(n=1,2,3,4,5),判斷k1、k2、k3、k4、k5的大小關(guān)系;

(3)證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)＜x.

思路解析:本題主要考查函數(shù)知識(shí)、斜率公式、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,結(jié)合已知采用分析法將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化到能夠解決的范圍內(nèi).

(1)解:f(0)==0,f(1)==1.

(2)解:kn=,n=1,2, …,5,

因?yàn)閍1＜a2＜a3＜a4＜a5,

所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5.

(3)證明:由于f(x)的圖象是連結(jié)各點(diǎn)Pn(xn,yn)(n=0,1, …,5)的折線,要證明f(x)＜x(0＜x＜1),只需證明f(xn)＜xn(n=1,2,3,4).事實(shí)上,當(dāng)x∈(xn-1,xn)時(shí),

f(x)=(x-xn-1)+f(xn-1)

=f(xn-1)+f(xn)

＜=x.

下面證明f(xn)＜xn.

對(duì)任何n(n=1,2,3,4),

5(a1+…+an)=［n+(5-n)］(a1+…+an)

=n(a1+…+an)+(5-n)(a1+…+an)

≤n(a1+…+an)+(5-n)nan=n［a1+…+an+(5-n)an］

＜n(a1+…+an+an+1+…+a5)=nT.

所以f(xn)=＜=xn.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．記T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：通州區(qū)一模 題型：解答題

現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．記T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

20.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對(duì)其進(jìn)行如下加工：記T=a0+a1+…a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函數(shù)y=f（x），使其圖像為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折線.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）設(shè)Pn－1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；

（Ⅲ）證明：f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．記T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設(shè)直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關(guān)系；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

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