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8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,F為橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的右焦點,B,C分別為橢圓的上、下頂點,直線BF與橢圓的另一個交點為D,且直線CD的斜率為12,則該橢圓的離心率為22

分析 由題意可得B(0,b),C(0,-b),F(c,0),由直線BF的方程bx+cy=bc代入橢圓方程求得交點D的坐標,由直線的斜率公式,化簡整理可得a2=2bc,再由離心率公式計算即可得到所求值.

解答 解:由題意可得B(0,b),C(0,-b),F(c,0),
由直線BF的方程bx+cy=bc代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,
消去y,可得x=2a2ca2+c2,y=bc2a2c2+a2,
即為D(2a2ca2+c2,bc2a2c2+a2),
直線CD的斜率為12,可得bc2a2+bc2+a22a2c=12,
即有a2=2bc,由a2=b2+c2,可得b=c=22a,
即e=ca=22
故答案為:22

點評 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用直線方程和橢圓方程聯立,求交點,結合直線的斜率公式,運用離心率公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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