Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，B，C分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線BF與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD的斜率為$\frac{1}{2}$，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得B（0，b），C（0，-b），F(xiàn)（c，0），由直線BF的方程bx+cy=bc代入橢圓方程求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得a²=2bc，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得B（0，b），C（0，-b），F(xiàn)（c，0），
由直線BF的方程bx+cy=bc代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，
消去y，可得x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，y=$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$，
即為D（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{c}^{2}+{a}^{2}}$），
直線CD的斜率為$\frac{1}{2}$，可得$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）+b（{c}^{2}+{a}^{2}）}{2{a}^{2}c}$=$\frac{1}{2}$，
即有a²=2bc，由a²=b²+c²，可得b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率公式，運(yùn)用離心率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．