Question

已知．.

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）對一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3) 證明對一切， 恒成立．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）對于研究非常規(guī)的初等函數(shù)的最值問題，往往都需要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)在某個區(qū)間上的最值；（2）恒成立問題，一般都需要將常數(shù)和變量分離開來（分離常數(shù)法）轉(zhuǎn)化為最值問題處理；（3）證明不等式恒成立問題，往往將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)來證明恒成立問題.但有些時候這樣轉(zhuǎn)化后不等會乃然很難實現(xiàn)證明，還需對不等式經(jīng)行恒等變形以達(dá)到化簡不等式的目的，然后再證.

試題解析：⑴ ，當(dāng)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)，，單調(diào)遞增． 1分

（由于的取值范圍不同導(dǎo)致所處的區(qū)間函數(shù)單調(diào)性不同，故對經(jīng)行分類討論.）

① ，t無解； 2分

② ，即時， 3分

③ ，即時，在上單調(diào)遞增，；

所以 5分

由題可知:,則.因?qū)τ?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720415548559023/SYS201411172042012670775784_DA/SYS201411172042012670775784_DA.024.png">,恒成立，故,

設(shè)，則.

單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

所以，即.

問題等價于證明(為了利用第（1）小問結(jié)論，并考慮到作差做函數(shù)證明不方便，下證的最值與最值的關(guān)系.)

由（1）可知在的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)時取到.

設(shè),則,易得,當(dāng)且僅當(dāng)時取到.

從而對于一切,都有恒成立.

考點：（1）含參量函數(shù)最值的討論；（2）含參恒成立問題，參數(shù)取值范圍；（3）利用倒數(shù)證明不等式.