Question

有一個底面半徑和高都是R的圓錐形密閉容器，容器中裝有一些水．如果底朝下（且水平）時水的高度為1/2R，那么當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時容器中水的高度為多少？

Answer 1

解：如圖，設(shè)圓錐的頂點為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時水面的圓心為A．則
V_SO=πR²×R=πR³
∴V_QO=πR³-π（）³=πR³
又V_SA=πh²×h=πh³
由V_SQ=V_OA=πR³
∴h=R．
那么當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時容器中水的高度為R．
分析：如圖，設(shè)圓錐的頂點為S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）時水面的圓心為Q，底面朝上（且水平）時水面的圓心為A．利用體積之差求出V_QO，又V_SA=πh²×h=πh³由V_SQ=V_OA=πR³即可求得當(dāng)?shù)酌娉�上（且水平）時容器中水的高度．
點評：本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）、組合幾何體的面積、體積問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．