Question

7．經市場調查：生產某產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W（x）萬元，在年產量不足8萬件時，W（x）=$\frac{1}{3}$x²+x（萬元），在年產量不小于8萬件時，W（x）=6x+$\frac{100}{x}$-38（萬元）．通過市場分析，每件產品售價為5元時，生產的商品能當年全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式；
（2）寫出當產量為多少時利潤最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本，分0＜x＜8和當x≥8兩種情況得到L與x的分段函數關系式；
（2）當0＜x＜8時根據二次函數求最大值的方法來求L的最大值，當x≥8時，利用基本不等式來求L的最大值，最后綜合即可．

解答 解：（1）$L（x）=5x-W-3=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3，0＜x＜8\\ 35-x-\frac{100}{x}，x≥8.\end{array}\right.$，
（2）當0＜x＜8時，$L（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3=-\frac{1}{3}{（x-6）^2}+9$，
∴當x=6時，L_max1=9，
當x≥8時，$L（x）=35-x-\frac{100}{x}=35-（x+\frac{100}{x}）≤35-2\sqrt{100}=15$，
當且僅當$x=\frac{100}{x}$，即x=10時等號成立，∴L_max2=15，
∵L_max1＞L_max2，
∴當總產量達到10萬件時利潤最大．

點評 考查學生根據實際問題選擇合適的函數類型的能力，以及運用基本不等式求最值的能力．