Question

下面命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，2x+

1

2x

的最小值為2；
②過(guò)定點(diǎn)P（2，3）的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為13，這樣的直線有四條；
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，可以得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，則此三角形周長(zhǎng)可以為12．
其中正確的命題是（　�。�

• A、①②④
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：①由于基本不等式等號(hào)成立的條件不具備，故2x+

1

2x

的最小值大于2，故①不正確．
②設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（2，3）的直線的方程，求出它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)條件可得4k²+14k+9=0，或 
4k²-38k+9=0． 而這兩個(gè)方程的判別式都大于0，故每個(gè)方程都有兩個(gè)解，故滿足條件的直線有四條．
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，可以得到函數(shù)y-sin（2x-

π

6

）的圖象，故③不正確．
④若△ABC中，∠A=60°，a=4，則此三角形周長(zhǎng)可以為12，此時(shí)，三角形是等邊三角形．

解答：解：①∵2x+

1

2x

≥2

1

=2，（當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)，等號(hào)成立），故當(dāng)x＞0時(shí)，2x+

1

2x

的最小值大于2，
故①不正確．
②設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（2，3）的直線的方程為 y-3=k（x-2），它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為
（2-

3

k

，0），（0，3-2k），
根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為13=

1

2

|(3-2k)×(2-

3

k

)|，
化簡(jiǎn)可得 4k²+14k+9=0，或 4k²-38k+9=0． 而這兩個(gè)方程的判別式都大于0，
故每個(gè)方程都有兩個(gè)解，故滿足條件的直線有四條，故②正確．
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，可以得到函數(shù)y=cos2（ x-

π

6

）=sin[

π

2

-（2x-

π

3

 ）]
=sin（ 

π

6

- 2x ）=-sin（2x-

π

6

）的圖象，故③不正確．
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，則此三角形周長(zhǎng)可以為12，此時(shí)，三角形是等邊三角形，故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題基本不等式取等號(hào)的條件，過(guò)定點(diǎn)的直線，三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，檢驗(yàn)基本不等式等號(hào)成立的條件，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．