Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)已知條件中函數(shù)的單調(diào)性，判斷出x=0是一個極值點，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)值為0，求出b的值．
（2）將b的值代入f（x）中，將x=1代入得到a，c的關(guān)系，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個根即函數(shù)的兩個極值點，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷出極值點與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，列出不等式求出f（2）的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數(shù)f（x）的一個零點，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x1=0，x2=

2a

3

．
又∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個零點，
∴x2=

2a

3

＞1，即a＞

3

2

．
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7＞-

5

2

．
故f(2)的取值范圍為(-

5

2

，+∞)．

點評：函數(shù)在極值點處的導(dǎo)函數(shù)為0是函數(shù)有極值的必要條件；極值點左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號還必須相反．