Question

1．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，則S_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 $S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，可得$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵$S_n^2$=a_n$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
∴$S_n^2$=（S_n-S_n-1）$（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$，
化為：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)a₁=1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n=1時(shí)也成立．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．