Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b滿足f（-1）=-2
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求實數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（-1）=-2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立關于a與b的方程組，解之即可；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)，可得其對稱軸在區(qū)間[-2，2]上，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（-1）=-2
∴1-（a+2）+b=-2即b-a=-1   ①
∵方程f（x）=2x有唯一的解即x²+ax+b=0唯一的解
∴△=a²-4b=0    ②
由①②可得a=2，b=1
（2）由（1）可知b=a-1
∴f（x）=x²+（a+2）x+b=x²+（a+2）x+a-1
其對稱軸為x=-

a+2

2

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)
∴-2≤-

a+2

2

≤2解得-6≤a≤2
∴實數(shù)a的取值范圍為-6≤a≤2．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及方程解與判別式的關系，同時考查了計算能力，屬于基礎題．