Question

設(shè)集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*，設(shè)集合A同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①A⊆P_n；②若x∈A，則2x∉A；
③若x∈∁ PnA，則2x∉∁ pnA．當(dāng)n=4時(shí)，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的集合A

 

；當(dāng)N=9時(shí)，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專(zhuān)題：集合

分析：（1）由題意可得P₄={1，2，3，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）；
（2）任取偶數(shù)x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過(guò)k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數(shù)；若m∉A，則x∈A?k為奇數(shù)，求出f（n）的解析式，將9代入可得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)n=4時(shí)，P₄={1，2，3，4}，
符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，
故答案為：{2}或{1，4}或{2，3}或{1，3，4}；
（2）任取偶數(shù)x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過(guò)k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，
于是x=m•2^k，其中m為奇數(shù)，k∈N^*
由條件可知，若m∈A，則x∈A?k為偶數(shù)；
若m∉A，則x∈A?k為奇數(shù)；
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，設(shè)Q_n是P_n中所有的奇數(shù)的集合，
因此f（n）等于Q_n的子集個(gè)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（或奇數(shù)時(shí)），P_n中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是

1

2

n（或

n+1

2

），
∴f（n）=

2 n 2 ，n為偶數(shù) 2 n+1 2 ，n為奇數(shù)

，
故當(dāng)N=9時(shí)，f（9）=2⁵=32，
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用題目中的定義．