Question

14、已知三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行．

Answer 1

分析：三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，這三條交線交于一點(diǎn)，或互相平行．證明時(shí)要分三條交線交于一點(diǎn)，和三條交線互相平行兩種情況；（1）證三線交于一點(diǎn)時(shí)，先由兩線交于一點(diǎn)，再證這一點(diǎn)也在第三條直線上；（2）證三線平行時(shí)，先由兩線平行，再證第三條直線與這兩條平行線中的任一條直線平行即可．

解答：證明：設(shè)三個(gè)平面為α，β，γ，
且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c?α，b?α；
∴c與b交于一點(diǎn)，或互相平行．
（1）如圖①，若c與b交于一點(diǎn)，可設(shè)c∩b=P．
由P∈c，且c?β，有P∈β；又由P∈b，b?γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以，直線a，b，c交于一點(diǎn)（即P點(diǎn)）．
圖①；       圖②
（2）如圖②，若c∥b，則由b?γ，且c?γ，∴c∥γ；又由c?β，
且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的直線平行，或相交的證明，特別是幾何符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用，是有難度的問(wèn)題．