Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是一個直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°．CD=3，BC=2，AB=5，AA₁=2

5

．
（I）若A₁A=A₁D，點O在線段AB上，且AO=2，A₁O=4，求證：A₁O⊥平面ABCD；
（II）試判斷AB₁與平面A₁C₁D是否平行，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）連接DO，由A1O2+OD2=A1D2，先證明A₁O⊥OD，由A1O2+OA2=A1A2，證明A₁O⊥AB，即可證明A₁O⊥平面ABCD；
（II）以O(shè)B，OD．OA₁，為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，可得

A1C1

，

A1D

坐標(biāo)，設(shè)平面A₁C₁D法向量為

n

=（x，y，z），可求

AB1

，由

AB1

與

n

不平行，

AB1

•

n

≠0，故可證AB₁與平面A₁C₁D不平行．

解答：
解：（I）連接DO，AB∥CD，∠ABC=90°．CD=3，BC=2，AB=5，AO=2，
∴OB

∥

.

DC，可得OD=BC=2，
∵△A₁OD中，A₁O=4，A₁A=A₁D=2

5

，有A1O2+OD2=A1D2，∴A₁O⊥OD，
∵△A₁OA中，A₁O=4，AO=2，A₁A=2

5

，有A1O2+OA2=A1A2，∴A₁O⊥AB，
∵OD∩AB=O，AB∥CD，OD，AB?平面ABCD；
∴A₁O⊥平面ABCD；
（II）AB₁與平面A₁C₁D不平行，理由如下：

如圖所示，以O(shè)B，OD．OA₁，為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
則有：B（3，0，0），C（3，2，0），D（0，2，0），A（-2，0，0），
B₁（3，0，4），C₁（3，2，4），

A1C1

=（3，2，4），

A1D

=（0，2，0），
∴設(shè)平面A₁C₁D法向量為

n

=（x，y，z），
則

y=0 3x+4z=0

，
則

n

=（-4，0，3），
∴

AB1

=（5，0，4），

AB1

與

n

不平行，

AB1

•

n

≠0，
故AB₁與平面A₁C₁D不平行．

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，建立空間坐標(biāo)系用空間向量求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．