Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象經(jīng)過最高點（1，2），且相鄰兩對稱軸間的距離為2．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（1-x），x∈[-3，3]，求使得g（t）=3成立的實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的圖象和性質求出A，ω和φ的值即可得到結論．
（2）化簡函數(shù)g（x），解方程即可得到結論．

解答 解：（1）f（x）=Asin²（ωx+φ）=A•$\frac{1-cos（2ωx+2φ）}{2}$=-$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{A}{2}$，
∵f（x）圖象經(jīng)過最高點（1，2），且相鄰兩對稱軸間的距離為2．
∴A=2，$\frac{T}{2}$=2，即T=4=$\frac{2π}{2ω}$，則ω=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+2φ）+1，
當x=1時，$\frac{π}{2}$+2φ=2kπ+π，
則φ=kπ+$\frac{π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴當k=0時，φ=$\frac{π}{4}$，
則f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）+1=sin$\frac{π}{2}$x+1．
（2）g（x）=f（x）+f（1-x）=sin$\frac{π}{2}$x+1+sin$\frac{π}{2}$（1-x）+1=2+sin$\frac{π}{2}$x+cos$\frac{π}{2}$x=2+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）
由g（t）=3得2+$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=3，
即$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=1，
即sin（$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵t∈[-3，3]，
∴$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴$\frac{π}{2}$t+$\frac{π}{4}$=-$\frac{5π}{4}$或$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
則t=-3，或t=0，或t=1．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)函數(shù)的圖象和性質，綜合性較強，運算量較大．