Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).
（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由橢圓定義法知，Q點(diǎn)的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓，求出，寫(xiě)出點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）設(shè)出M、N點(diǎn)坐標(biāo)和直線MN方程，代入曲線T的方程，整理成關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系將，用參數(shù)表示出來(lái)，利用判別式大于0列出關(guān)于參數(shù)的不等式，再利用題中的向量條件用參數(shù)把P點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，代入曲線T的方程，得出關(guān)于參數(shù)的等式，代入判別式得到關(guān)于的不等式，求出的范圍.
試題解析:（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則，又，
則，故可得點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）令經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為，則的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
將其代入橢圓方程整理可得
設(shè)，則，故
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則
由，得，故
則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042943619272.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，故
化簡(jiǎn)，得，又，故得     ①
又，得       ②
聯(lián)立①②兩式及，得，故且
綜上（1）（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是.