Question

已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，且f（-1）=1，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，0]，x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＞0成立．
（1）解不等式f(x+

1

2

)＜f(x-1)；
（2）若f（x）≤t²-2at+1對(duì)x∈[-1，1]和a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意得f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，又f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-|x|），由此得

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 -|x+ 1 2 |＞-|x-1|

從而解得x范圍；
（2）由不等式恒成立的條件求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）由對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，0]，x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＞0成立知，f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，
又f（x）是偶函數(shù)，則f（x）=f（-|x|），
所以f(x+

1

2

)＜f(x-1)?f(-|x+

1

2

|)＜f(-|x-1|)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 -|x+ 1 2 |＞-|x-1|

?0≤x≤

1

4

，
故不等式f(x+

1

2

)＜f(x-1)的解集為[0，

1

4

)．
（2）由已知f_max（x）=f（-1）=1，又f（x）≤t²-2at+1對(duì)x∈[-1，1]和a∈[-1，1]恒成立，
所以1≤t²-2at+1?2at-t²≤0，在a∈[-1，1]上恒成立，
只需

-2t-t2≤0 2t-t2≤0

，即t=0或t≤-2或t≥2，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性；單調(diào)性；不等式解法；不等式恒成立問題．綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．