Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+3]，不等式f（x+t）≥3f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A．[3+3

  3

   ， +∞)
• B．[3，+∞）
• C．[-3

  3

   ， 1]∪[3 ， 

  6

  ]
• D．(0 ， 3+3

  3

  ]

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足3f（x）=f（

3

x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥3f（x）=f（

3

x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥

3

x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數(shù)是奇函數(shù)∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

x2  x≥0 -x2 x＜0

，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足3f（x）=f（

3

x），
∵不等式ff（x+t）≥3f（x）=f（

3

x）在[t，t+3]恒成立，
∴x+t≥

3

x在[t，t+3]恒成立，即：t≥(

3

-1)x在[t，t+3]恒成立，
∴t≥(

3

-1)(t+3)，∴t≥3+3

3

故選A．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．