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15.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球、1個(gè)綠球和2個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球、1個(gè)綠球和3個(gè)黑球,現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子內(nèi)各任取2球.
(1)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率;
(2)求取出的4個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)不超過2個(gè)的概率;
(3)設(shè)取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析 (Ⅰ) 設(shè)4個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為ξ,即ξ=1,可能來自甲盒,也可能來自乙盒,由此能求出取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.
(Ⅱ)4個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù)ξ不超過2個(gè),則ξ可以是0個(gè),1個(gè),2個(gè),分別求出Pp(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),由此能求出P(ξ≤2).
(Ⅲ)ξ的可能取值為0,1,2,3,…9′
由(Ⅰ)分別求出:p(ξ=0),p(ξ=1),p(ξ=2),p(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(Ⅰ) 設(shè)4個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)為ξ,即ξ=1,可能來自甲盒,也可能來自乙盒
∴p(ξ=1)=C11C13C24C24C26+C23C24C12C14C26=715.…4′
(Ⅱ)4個(gè)球中的紅球個(gè)數(shù)ξ不超過2個(gè),則ξ可以是0個(gè),1個(gè),2個(gè)
p(ξ=0)=C23C24C24C26=15,
p(ξ=1)=C11C13C24C24C26+C23C24C12C14C26=715,
p(ξ=2)=C11C13C24C12C14C26+C23C24C22C26=310,
∴p(ξ≤2)=15+715+310=2930.…8′
(Ⅲ)ξ的可能取值為0,1,2,3,…9′
由(Ⅰ)(Ⅱ)知:p(ξ=0)=15,p(ξ=1)=715,p(ξ=2)=310,
而p(ξ=3)=C11C13C24C22C26=130,…10′
∴ξ的分布列為:

 ξ 0 1 2 3
 P 15 715 310 
∴Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76.…12′

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,在歷年高考中都是必考題之一.

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