Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，a]上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數(shù)t，當x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：

分析：（Ⅰ）根據f（x）=（x+1）²-1 在[-3，a]上單調遞減，利用二次函數(shù)的性質求得a的范圍．
（Ⅱ）由題意可得 x∈[1，m]時，x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立．令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，則

u(1)≤0 u(m)≤0

．令g（t）=t²+2（m+1）t+m²-m，問題轉化為當t∈[-4，0]，g（t）的最大值為非正實數(shù)．分類討論，求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x=（x+1）²-1 在[-3，a]上單調遞減，
∴-3＜a≤-1．
（Ⅱ）若存在實數(shù)t，當x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，
則 x∈[1，m]時，x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立．
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，則

u(1)≤0 u(m)≤0

，即

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

．
令g（t）=t²+2（m+1）t+m²-m，問題轉化為存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0 成立，
即 當t∈[-4，0]，g（t）的最大值為非正實數(shù)．
由于函數(shù)g（t）的對稱軸為t=-1-m＜-2，
①當-1-m＜-4，即 m＞3時，g（t）_min=g（-4）=16-8（m+1）+m²-m≤0，
求得 3＜m≤8．
②當-4≤-1-m≤-2，即 1＜m≤3時，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
求得 1＜m≤3．
綜上可得，m的范圍為（1，8]．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．