Question

6．有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為1，2，3，4的四個盒子，現(xiàn)把球全部放入盒子中，
（1）若恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（2）若每個盒子都不空，恰有兩個小球放入編號相同的盒子，有多少種放法？
（3）若每個盒子都不空，且編號為偶數(shù)的小球只放入編號為偶數(shù)的盒子中，有多少種放法？

Answer 1

分析 （1）分三個盒子中球的個數(shù)為“122型”或“113型”兩種情況討論即可；
（2）利用捆綁法計算即得結(jié)論；
（3）分2號球入2號盒、4號球入4號盒，2號球入4號盒、4號球入2號盒兩種情況討論即可．

解答 解：（1）依題意，三個盒子中球的個數(shù)為“122型”或“113型”，
①若為“122型”時，此時有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=360種放法；
②若為“112型”時，此時有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$=180種放法；
綜上所述，若恰有一個盒子不放球，有360+180=540種放法；
（2）將放入編號相同盒子的兩球看做一個小球，則相當(dāng)于將4個小球放入4個不同的盒子，
故有${C}_{5}^{2}$•${A}_{4}^{4}$=240種放法；
（3）∵每個盒子都不空，
∴恰有一個盒子有2個球，其他的盒子均有一個球，
依題意，分以下情況討論：
①當(dāng)2號球入2號盒時，則4號球必入4號盒，
此時有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12種放法；
②當(dāng)2號球入4號盒時，則4號球必入2號盒，
此時有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12種放法；
綜上所述，有12+12=24種放法．

點評 本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．