【題目】在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是橢圓P: (a>b>0)的右焦點,已知A(0,﹣2)與橢圓左頂點關于直線y=x對稱,且直線AF的斜率為
(1)求橢圓P的方程;
(2)過點Q(﹣1,0)的直線l交橢圓P于M、N兩點,交直線x=﹣4于點E, = , = ,證明:λ+μ為定值.

【答案】
(1)解:設橢圓的右焦點為F(c,0),左頂點為(﹣a,0),

由點A(0,﹣2)與橢圓左頂點關于直線y=x對稱,可得﹣ =﹣1,解得a=2,

由直線AF的斜率為 ,可得 = ,可得c=

即有b= =1,

則橢圓的方程為 +y2=1;


(2)解:依題意,直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=k(x+1),

設M(x1,y1)、N(x2,y2)、E(﹣4,y3),

則M、N兩點坐標滿足方程組

消去y并整理,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4=0,

∴x1+x2=﹣ ①,x1x2= ②,

= ,∴(﹣1﹣x1,﹣y1)=λ(x2+1,y2),

∴﹣1﹣x1=λ(x2+1),

∴λ= ,

令x=﹣4,可得y3=﹣3k,

= ,即(﹣4﹣x1,﹣3k﹣y1)=μ(x2+4,y2+3k),

可得μ=

∴λ+μ= + = ,

將①②代入上式可得λ+μ=0.

故λ+μ為定值0.


【解析】(1)由對稱和直線的斜率公式,推導出a=2,c= ,由此能求出橢圓的方程;(2)依題意,直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=k(x+1).設M(x1 , y1)、N(x2 , y2)、E(﹣4,y3),則M、N兩點坐標方程組 ,消去y并整理,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2﹣4=0,然后利用根與系數(shù)的關系以及向量的共線的坐標表示,化簡整理進行求解可得.

練習冊系列答案
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