Question

已知：（n+1）a_n=（n-1）a_n-1+2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由（n+1）a_n=（n-1）a_n-1+2，對n分別取1，2，3可得：a₁=1，a₂=1，a₃=1．猜想a_n=1．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：由（n+1）a_n=（n-1）a_n-1+2，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2，解得a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，3a₂=a₁+2=3，解得a₂=1，
當(dāng)n=3時(shí)，4a₃=2a₂+2，解得a₃=1．
猜想a_n=1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，成立；
（2）計(jì)算n=k時(shí)，a_k=1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+2）a_k+1=ka_k+2=k+2，
∴a_k+1=1．
綜上（1）（2）可得：對?n∈N^*，可得a_n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了先猜想得出數(shù)列通項(xiàng)公式、再利用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．