Question

6．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥-1}\\{x-y≤-1}\\{2x-3y≥-6}\end{array}\right.$
（1）求目標函數z=2x-y的取值范圍；
（2）求目標函數z=x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過實數x，y滿足約束條件直接畫出此二一元次不等式組表示的平面區(qū)域；直接求出目標函數z=2x-y結果的可行域內的頂點，即可求出z的最大值和最小值；
（2）z=x²+y² 就是可行域內的點到坐標原點距離的平方，求出最大值即可．

解答 解：（1）實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥-1}\\{x-y≤-1}\\{2x-3y≥-6}\end{array}\right.$
的可行域如圖：
直線z=2x-y經過$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-3y=-6}\end{array}\right.$，
當x=3，y=4時z取最大值2；
直線z=2x-y經過$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=6}\\{x+y=-1}\end{array}\right.$，解得交點B，即x=$-\frac{8}{5}$，y=$\frac{3}{5}$時，z=2x-y取最小值$-\frac{19}{5}$．
z的范圍是[$-\frac{19}{5}$，2]．
（2）由可行域可知，A當x=3，y=4時，z=x²+y²取得最大值為3²+4²=25．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃的應用，考查計算能力與作圖能力，以及表達式的幾何意義．