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10.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),若f(0)=2016,且對任意x∈R,滿足f(x+2)-f(x)≤3•2x,f(x+6)-f(x)≥63•2x則f(2016)=2015+22016

分析 由f(x+2)-f(x)≤3•2x①,f(x+6)-f(x)≥63•2x②,②-①可推得f(x+6)-f(x+2)≥15•2x+2,可化為f(x+4)-f(x)≥15•2x③,由f(x+2)-f(x)≤3•2x,可得f(x+4)-f(x+2)≤3•2x+2,兩式相加可得f(x+4)-f(x)≤3•2x+3•2x+2=15•2x④,由③④可推得恒等式,由此可求得答案.

解答 解:由f(x+2)-f(x)≤3•2x①,f(x+6)-f(x)≥63•2x②,
②-①,得f(x+6)-f(x+2)≥60•2x=15•2x+2,即f(x+4)-f(x)≥15•2x③,
由f(x+2)-f(x)≤3•2x,得f(x+4)-f(x+2)≤3•2x+2,
兩式相加,得f(x+4)-f(x)≤3•2x+3•2x+2=15•2x④,
由①④,得f(x+4)-f(x)=15•2x,
∴f(2016)=f(2012)+15•22012
=f(2008)+15•22004+15•22008
=…
=f(0)+15•22012+15•22008+…+15•24+15•20
=2016+15•116504116=2015+22016,
故答案為:2015+22016

點評 本題考查抽象函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用,考查函數(shù)的求值,解決該題的關(guān)鍵是由不等式變出恒等式,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想

練習(xí)冊系列答案
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