Question

求y=

sinx+1

cosx+2

的值域（用萬(wàn)能公式解）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：方法一：利用萬(wàn)能公式，可將y=

sinx+1

cosx+2

的解析式化為y=

tan2 x 2 +2tan  x 2 +1

3+tan2 x 2

的形式，t=tan

x

2

，利用判別式法，可得函數(shù)的值域．
方法二：根據(jù)

sinx+1

cosx+2

的幾何意義，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)值域．

解答： 解：∵y=

sinx+1

cosx+2

=

2tan x 2 1+tan2 x 2 +1

1-tan2 x 2 1+tan2 x 2 +2

=

tan2 x 2 +2tan x 2 +1 1+tan2 x 2

tan2 x 2 +3 1+tan2 x 2

=

tan2 x 2 +2tan  x 2 +1

3+tan2 x 2

，
令t=tan

x

2

，
則y=

t2+2t+1

3+t2

，即（y-1）t²-2t+3y-1=0，
當(dāng)y=1時(shí)，方程有解；
當(dāng)y≠1時(shí)，若方程有解，則△=4-4（y-1）（3y-1）≥0，
解得：y∈（0，

4

3

]，
綜上：y∈[0，

4

3

]，
故y=

sinx+1

cosx+2

的值域?yàn)閇0，

4

3

]．
方法二：y=

sinx+1

cosx+2

表示單位圓上一點(diǎn)（cosx，sinx）與（-2，-1）點(diǎn)連線的斜率，
如下圖所示：

由圖可知：函數(shù)y=

sinx+1

cosx+2

的值域?yàn)閇k_PA，k_PB]，
∵k_PA=0，k_P0=

1

2

，k_PB=

2kPO

1-kPO2

=

4

3

，
∴y=

sinx+1

cosx+2

的值域?yàn)閇0，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值域，萬(wàn)能公式，難度中檔．