Question

10．對于函數(shù)f（x）給出定義：
設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．
某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．給定函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-\frac{5}{12}$，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算
$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{2016}{2017}）$=2016．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：由$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x-\frac{5}{12}$，
∴f′（x）=x²-x+3，
所以f″（x）=2x-1，由f″（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
故設(shè)f（$\frac{1}{2007}$）+f（$\frac{2}{2007}$）+f（$\frac{3}{2007}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+…+f（$\frac{1}{2007}$）=m，
兩式相加得2×2016=2m，
則m=2016，
故答案為：2016．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．