已知橢圓內(nèi)有圓，如果圓的切線與橢圓交A、B兩點，且滿足（其中為坐標原點）．
（1）求證：為定值；
（2）若達到最小值，求此時的橢圓方程；
（3）在滿足條件（2）的橢圓上是否存在點P，使得從P向圓所引的兩條切線互相垂直，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，說明理由．
解：（1）方法1：設圓的切線的切點坐標為，則切線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：．
設，因，所以，又，，所以．（*）
將代入（*）得
，
因，因此，所以（定值）.
方法2：設切線的方程為，則有
，
所以.
因，所以，即
（定值）．
（2）因，
所以．
當時取到最小值，此時橢圓的方程為．
（3）如果存在滿足條件的點P，則向圓引兩條切線，切點分別為M、N，連結(jié)OM、ON，則，如果，則四邊形OMPN為正方形，所以，因為橢圓上到中心最近的點為短軸的端點，距離為，故存在四個點滿足條件，其坐標為，即．
略
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y=(x+1)2與圓M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一個公共點，且在A處兩曲線的切線為同一直線l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）設m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D，求D到l的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設平面內(nèi)兩定點，直線PF1和PF2相交于點P,且它們的斜率之積為定值；
（Ⅰ）求動點P的軌跡C1的方程；
（Ⅱ）設M（0，），N為拋物線C2：上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P、Q兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正四面體P-ABC中，M為ABC內(nèi)（含邊界）一動點，且到三個側(cè)面PAB，PBC，PCA的距離成等差數(shù)列，則點M的軌跡是（  ）
A．一條線段B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖:O方程為，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，O交y軸于點N，.且
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設，若過F1的直線交（I）中曲線C于A、B兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

△ABC中，A（-2，0），B（2，0），則滿足△ABC的周長為8的點C的軌跡方程為
_______。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知橢圓：，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A，B兩點．
(I)求證O到直線AB的距離為定值．
(Ⅱ)求△0AB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設雙曲線的漸近線與圓相切，則=        .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

．(本小題滿分12分)
在△ABC中，頂點A（－1,0），B（1,0），動點D，E滿足：
①；②｜｜＝｜｜＝｜｜③與共線.
(Ⅰ)求△ABC頂點C的軌跡方程；
(Ⅱ) 若斜率為1直線l與動點C的軌跡交于M，N兩點，且·＝0，求直線l的方程.

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