Question

【題目】如圖，直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2， 為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)45°.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連結(jié)交于，取中點(diǎn)，連結(jié).由題意可得是平行四邊形，故.利用中位線的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形.則，結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面.

(Ⅱ)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可求得平面的法向量，顯然平面的一個(gè)法向量，據(jù)此計(jì)算可得平面與平面所成銳二面角的大小為45°.

試題解析：

(Ⅰ)連結(jié)交于，取中點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?/span>，所以是平行四邊形，故.

又是的中位線，故，所以，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，所以，

又平面， 平面，

所以平面.

(Ⅱ)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則， ， ， ， ，

設(shè)平面的法向量，

則，即，

解得，

令，得，

顯然平面的一個(gè)法向量，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角的大小為45°.