Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，Sn+an=2-(

1

2

)n（n為正整數）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若

cn

n+1

=

an

n+2

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

把已知轉化為2n+1an-2nan-1=1，而數列{2ⁿ⁺¹a_n}是一個等差數列，利用通項公式即可得出；
（2）由已知得到cn=

n+1

2n+1

，利用“錯位相減法”即可得出T_n．

解答：解：（1）∵Sn+an=2-(

1

2

)n，∴n≥2時，Sn-1+an-1=2-(

1

2

)n-1
兩式相減可得2a_n-a_n-1=(

1

2

)n，
∴2n+1an-2nan-1=1還
∵n=1時，S1+a1=2-(

1

2

)1，∴a1=

3

4

，∴2²a₁=3
∴{2ⁿ⁺¹a_n}是以3為首項，1為公差的等差數列，
∴2ⁿ⁺¹a_n=n+2，∴an=

n+2

2n+1

；
（2）∵

cn

n+1

=

an

n+2

，∴cn=

n+1

n+2

an=

n+1

n+2

×

n+2

2n+1

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，
2T_n=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

，
兩式相減得T_n=

2

2

+

1

22

+

1

23

+…

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

2+n

2n+1

．

點評：數列掌握通項a_n與其前n項和S_n的關系an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

、“錯位相減法”、等差數列和等比數列的通項及其前n項和的計算公式是解題的關鍵．