Question

已知過點P（2，1）的直線與拋物線y²=4x相交于A、B兩點，點M是線段AB的中點．
（1）當點P與M重合時，求直線AB的方程；
（2）求點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，相減可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），利用中點坐標公式、斜率計算公式可得直線AB的斜率，再利用點斜式即可得出．
（2）由（1）可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），設(shè)M（x，y），則k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y-1

x-2

，y₁+y₂=2y．代入化簡即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
相減可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴k_AB×2×1=4，解得k_AB=2．
∴直線AB的方程為y-1=2（x-2），
化為2x-y-3=0．
（2）由（1）可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
設(shè)M（x，y），則k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y-1

x-2

，y₁+y₂=2y．
∴

y-1

x-2

×2y=4，
化為(y-

1

2

)2=2(x-

15

8

)．x=2時也滿足方程．
∴點M的軌跡方程為：(y-

1

2

)2=2(x-

15

8

).(x≥

15

8

)．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．