Question

已知．

（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線垂直，求的值；

（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；

（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當，即時，，當，即時，，當，即時，；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值、切線方程以及不等式的證明等基礎知識，考查分類討論思想，綜合分析和解決問題的能力.第一問，對求導，將代入得到切線的斜率，由已知切線與直線垂直得出方程，解出的值；第二問，先對求導，利用導數的正負判斷出函數的單調區(qū)間，再討論已知和單調區(qū)間的關系來決定最值的位置；第三問，利用第二問的結論，得出，因為，所以數形結合，得，解得，數形結合得出兩組點的橫坐標的關系，又利用，得出，，進行轉換得到所求證的不等式.

試題解析：（1）由，

得：，則，

所以，得.

（2）令，得，即.

由，得，由，得，

∴在上為增函數，在為減函數.

∴當，即時，.

當，即時，.

當，即時，.

（3）由（2）知，，

∵，∴，

∴，得，∴，且.

得，又，，

∴.

考點：1.利用導數求切線的斜率；2.兩條直線垂直的充要條件；3.利用導數判斷函數的單調性；4.利用導數求函數的最值.