Question

9．甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，假設每局比賽中，甲勝乙的概率為$\frac{1}{2}$，甲勝丙、乙勝丙的概率都為$\frac{2}{3}$，各局比賽的結果都相互獨立，第1局甲當裁判．
（1）求第3局甲當裁判的概率；
（2）記前4局中乙當裁判的次數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）第2局中可能是乙當裁判，其概率為$\frac{1}{3}$，也可能是丙當裁判，其概率為$\frac{2}{3}$，由此能求出第3局甲當裁判的概率．
（2）由題意X可能的取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布與數(shù)學期望．

解答 解：（1）第2局中可能是乙當裁判，其概率為$\frac{1}{3}$，
也可能是丙當裁判，其概率為$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲當裁判的概率為$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由題意X可能的取值為0，1，2．…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{17}{27}$，…（7分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$．…（8分）
∴X的概率分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{27}$	$\frac{4}{27}$

∴X的數(shù)學期望E（X）=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{17}{27}+2×\frac{4}{27}$=$\frac{25}{27}$．…（10分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．