Question

下列命題：

①中，若,則；

②若A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為

③已知，則數(shù)列中的最小項(xiàng)為；

④若函數(shù)，且，則；

⑤函數(shù)的最小值為. 

其中所有正確命題的序號(hào)是        

 

Answer 1

【答案】

②③

【解析】

試題分析：①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理

得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin²A，cos2B=1-2sin²B，

所以cos2A＞cos2B，①錯(cuò)誤．

②因?yàn)锳+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π

所以=1，

原式等價(jià)于

= ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即α=2β時(shí)取等號(hào)．所以②正確．

③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100200503878588103/SYS201310020051552087619096_DA.files/image006.png">=2+，因?yàn)?≤≤3，

所以設(shè)t=，則1≤t≤3．因?yàn)楹瘮?shù)y=t+-2在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，所以在[1，3]上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)有最小值3+-2=，則對(duì)應(yīng)數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為，所以③正確．

④令g（x）=，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的大小．由題意可知，分別看作函數(shù)f（x）=log₂（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，，所以④錯(cuò)誤．

⑤因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100200503878588103/SYS201310020051552087619096_DA.files/image016.png">，問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)P（x，0）到A（1，2），B（2，3）距離之和的最小值。原式等價(jià)為|PA|+|PB|的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（1，-2）．

則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為|PD|=．

所以，⑤錯(cuò)誤．故答案為：②③．

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，均值定理的應(yīng)用，對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。靈活的對(duì)問題實(shí)施轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵。