Question

已知函數(shù)f（x）=（x+α）cosx為奇函數(shù)，則a=

 

；現(xiàn)將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移

π

2

個(gè)單位，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為g（x），那么其解析式g（x）=

 

；且函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意可得設(shè)g（x）=x+a，則g（x）為奇函數(shù)，有g(shù)（-x）=-x+a=-g（x）=-（x+a），從而解得a的值．由f（x）=xcosx，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（x+α）cosx為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，
∴設(shè)g（x）=x+a，則g（x）為奇函數(shù)，
∴g（-x）=-x+a=-g（x）=-（x+a），從而解得：a=0．
∴f（x）=xcosx，
∴將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移

π

2

個(gè)單位，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為g（x），那么其解析式g（x）=xcos（x+

π

2

）=-xsinx，
∴由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為：（kπ，0）．
故答案為：0，-xsinx，（kπ，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．